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Differenze tra grafico lineare e logaritmico

Differenze tra grafico lineare e logaritmico

Molto spesso vedo sui social network che vengono pubblicati incomprensibili grafici lineari di serie storiche molto lunghe come l’immagine che ho scelto provocatoriamente come esempio per questo post.

I grafici di Excel o anche di molte piattaforme di trading o di analisi sono in scala lineare, ovvero significa che l’asse delle Y dei piani cartesiani hanno una scala uniforme e lineare.

STORIA

Approfittiamo per studiare un poco di storia: perché si chiamano grafici cartesiani? Perché sono stati inventati da Cartesio, direte voi, forse, non proprio, quindi riporto pari pari il paragrafo da wikipedia sulla storia del piano cartesiano:

L'uso delle coordinate geometriche venne introdotto per la prima volta da Nicola d'Oresme, matematico del XIV secolo operante a Parigi. L'aggettivo cartesiano è riferito al matematico e filosofo francese René Descartes (italianizzato in Renato Cartesio, latinizzato in Renatus Cartesius) il quale, tra le altre cose, riprendendo gli studi di Nicola d'Oresme, lavorò sulla fusione dell'algebra con la geometria euclidea. Questi studi furono influenti nello sviluppo della geometria analitica, del calcolo infinitesimale e della cartografia.

L'idea di questo sistema di riferimento fu sviluppato nel 1637 in due scritti da Cartesio e, indipendentemente, da Pierre de Fermat, anche se Fermat non pubblicò la sua scoperta. Nella seconda parte del suo Discorso sul metodo, Cartesio introduce la nuova idea di specificare la posizione di un punto o di un oggetto su una superficie usando due rette che si intersecano in un punto come strumenti di misura, idea ripresa in La Geometria

Tornando all’utilità dei grafici lineari, questa è massima quando le serie storiche non hanno una lunghezza elevata e quindi l’effetto capitalizzazione dei rendimenti è trascurabile, altrimenti la rappresentazione diventa poco utile e addirittura forviante (non ha senso fare disegni su un grafico lineare come nell'immagine di apertura di questo Blog).

Ma andiamo con ordine, partiamo dalla logica di una semplice retta che sale con un certo rapporto tra l’asse X e l’asse Y.

Proviamo a disegnare una linea retta sul grafico che sale di uno per ogni unità di tempo (asse delle X); la formula matematica è molto semplice Y=X+100 (supponendo che parta da 100).

Praticamente viene rappresentata una retta che per quanto lunga possa essere, sempre retta rimane in un piano cartesiano.

Fin qui tutto bene, abbiamo compreso che in un piano cartesiano l’asse delle X è il tempo mentre l’asse delle Y rappresenta il valore o prezzo di una serie storica (non me ne vogliano chi mastica di finanza tutti i giorni, è giusto partire dalla base per chi non è avvezzo a queste logiche).

Adesso ipotizziamo che invece la serie storica salga del 1% ogni mese; sarà sempre una retta quella risultante?

Apparentemente si, se il periodo rappresentato è breve sembra che la linea sia comunque retta, ma in realtà non è così per l’effetto di capitalizzazione.

ESAGERIAMO

Facciamo un esempio esagerato per far comprendere meglio la logica: supponiamo di avere un investimento che sale del 10% ogni mese (state lontani da chi vi propone simili rendimenti, ancora più lontani da chi ve li vende per certi…), ovviamente è un esempio didattico: partendo da 100, alla fine del primo mese avremo 110, ma alla fine del secondo mese se la linea fosse retta dovremmo avere 120, mentre nella realtà abbiamo 121, perché dobbiamo fare il 10% di 110, ovvero +11 rispetto al mese precedente, il terzo mese avremo 133,10 e così via, quindi la crescita non avviene lineare, ma cresce di più grazie all’effetto capitalizzazione.

Il grafico qui sopra riporta un rendimento mensile del 1% (anche questo troppo bello per essere vero nella finanza tradizionale, l’unico che dava questi rendimenti con continuità gli hanno dato 150 anni…) esattamente come il precedente, però se si allunga la serie storica si nota che non è una linea ma ha un andamento concavo verso l’alto, ovvero tende a crescere con un andamento esponenziale.

Se esageriamo con il tempo, l’andamento diventa ancora più marcato, annullando qualsiasi variazione del lontano passato ed esagerando gli effetti del recente passato.

Per risolvere questo problema sono stati inventati i grafici logaritmici, basati sulla logica dei logaritmi introdotti per la prima volta da Nepero nel 1600 …

Il grafico logaritmico ha l’asse delle Y che non cresce linearmente, ma cresce in maniera esponenziale, ovvero invece di avere una scala 1,2,3,4… si ha una scala dove cambia l’esponente 101, 102, 103 ecc…

Come si può vedere utilizzare il grafico logaritmico permette di rendere lineare una serie storica che cresce con un tasso di crescita costante (per esempio l’1%)

Perché un grafico logaritmico è tanto superiore ad un grafico lineare?

I motivi sono diversi, il (1) primo è rappresentativo, ovvero un grafico lineare di lungo periodo non ha senso, perché non si riescono ad apprezzare le oscillazioni passate che diventano irrilevanti perché la perdita del 10% di 10 equivale ad un calo di 1 unità, mentre il 10% di 1000 equivale ad un calo di 100, percentualmente è uguale ma nel grafico la differenza è notevole; 

il (2) secondo è che recenti perdite di valore sembrano molto peggiori di perdite di valori passate; 

Nel grafico abbiamo ipotizzato una serie storica che alternativamente un mese sale del 15% e il mese dopo perde il 9%; pur essendo un grafico relativamente breve, sembra che i guadagni e le perdite siano differenti lungo il tempo, ma in realtà la serie storica è uguale nei rendimenti sia all’inizio che alla fine, come si evince invece dal grafico a scala logaritmica:

Un piccolo appunto, come si vede dal grafico, una retta di regressione sul grafico logaritmico in realtà diventa una linea con andamento logaritmico (come nel grafico sopra), mentre una linea esponenziale su un grafico logaritmico appare come una retta.

il (3) terzo motivo è che se confrontiamo due serie storiche che hanno lo stesso drawdown, ma valori dissimili, non sembrano correttamente equiparabili perché le oscillazioni appaiono molto diverse:

La domanda nasce spontanea: “quale delle due serie storiche è più volatile? Mi risponderete probabilmente la serie storica blu, anche se avendo capito la logica è probabile che non ci siate cascati in questo banale tranello…

Se guardiamo il grafico in scala logaritmica ci accorgiamo che le serie storiche hanno lo stesso esatto andamento, solo che una è partita a 100 e l’altra a 50.

AUGURIO

Quindi spero che queste piccole pillole sui grafici logaritmici faranno si che in futuro anche sui social network si vedranno meno grafici lineari senza senso (soprattutto per chi usa l’analisi tecnica non ha senso perdere tempo su grafici lineari) e spero che ogni qualvolta che vedrete un grafico lineare sui social network, commenterete il grafico consigliando di leggere questo post al “malcapitato” scrittore che lo ha pubblicato.

PROVOCAZIONE

Vi lascio con una provocazione, che vuole introdurre un argomento di cui tratterò la prossima settimana:

Ma se il grafico fosse di una serie storica con un rendimento di +50% un mese e -50% il mese successivo, che grafico sarebbe?

Ovvero: quando la volatilità è molto alta, i rendimenti non sono affatto lineari e le perdite costano di più dei guadagni…

Vi ringrazio per le eventuali condivisioni qualora riteniate utile il post, grazie

DB

 

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Mercoledì, 18 Luglio 2018

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